Struktur Data

Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara penyimpanan, penyusunan dan pengaturan data di dalam media penyimpanan komputer sehingga data tersebut dapat digunakan secara efisien.

Dalam teknik pemrograman, struktur data berarti tata letak data yang berisi kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh pengguna (user) atau pun kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman yang tidak tampak oleh pengguna. Setiap baris dari kumpulan kolom-kolom tersebut dinamakan catatan (record). Lebar kolom untuk data dapat berubah dan bervariasi. Ada kolom yang lebarnya berubah secara dinamis sesuai masukan dari pengguna, dan juga ada kolom yang lebarnya tetap. Dengan sifatnya ini, sebuah struktur data dapat diterapkan untuk pengolahan database (misalnya untuk keperluan data keuangan) atau untuk pengolah kata (word processor) yang kolomnya berubah secara dinamis. Contoh struktur data dapat dilihat pada berkas-berkas lembar-sebar (spreadsheet), pangkal-data (database), pengolahan kata, citra yang dipampat (dikompres), juga pemampatan berkas dengan teknik tertentu yang memanfaatkan struktur data.

Daftar struktur data umum
1. Record
2. Larik
3. List
4. Tumpukan
5. Queue
6. Pohon

Prilaku Dalam Berorganisasi

Perilaku Organisasi

Perilaku Organisasi adalah suatu disiplin ilmu yang mempelajari bagaimana seharusnya perilaku tingkat individu, tingkat kelompok, serta dampaknya terhadap kinerja (baik kinerja individual, kelompok, maupun organisasi).

Perilaku organisasi juga dikenal sebagai Studi tentang organisasi. Studi ini adalah sebuah bidang telaah akademik khusus yang mempelajari organisasi, dengan memanfaatkan metode-metode dari ekonomi, sosiologi, ilmu politik, antropologi dan psikologi. Disiplin-disiplin lain yang terkait dengan studi ini adalah studi tentang Sumber daya manusia dan psikologi industri serta perilaku organisasi.

Tinjauan Umum

Studi organisasi adalah telaah tentang pribadi dan dinamika kelompok dan konteks organisasi, serta sifat organisasi itu sendiri. Setiap kali orang berinteraksi dalam organisasi, banyak faktor yang ikut bermain. Studi organisasi berusaha untuk memahami dan menyusun model-model dari faktor-faktor ini.

Seperti halnya dengan semua ilmu sosial, perilaku organisasi berusaha untuk mengontrol, memprediksikan, dan menjelaskan. Namun ada sejumlah kontroversi mengenai dampak etis dari pemusatan perhatian terhadap perilaku pekerja. Karena itu, perilaku organisasi (dan studi yang berdekatan dengannya, yaitu psikologi industri) kadang-kadang dituduh telah menjadi alat ilmiah bagi pihak yang berkuasa. Terlepas dari tuduhan-tuduhan itu, Perilaku Organisasi dapat memainkan peranan penting dalam perkembangan organisasi dan keberhasilan kerja.

Sejarah

Meskipun studi ini menelusuri akarnya kepada Max Weber dan para pakar yang sebelumnya, studi organisasi biasanya dianggap baru dimulai sebagai disiplin akademik bersamaan dengan munculnya manajemen ilmiah pada tahun 1890-an, dengan Taylorisme yang mewakili puncak dari gerakan ini. Para tokoh manajemen ilmiah berpendapat bahwa rasionalisasi terhadap organisasi dengan rangkaian instruksi dan studi tentang gerak-waktu akan menyebabkan peningkatan produktivitas. Studi tentang berbagai sistem kompensasi pun dilakukan.

Setelah Perang Dunia I, fokus dari studi organisasi bergeser kepada analisis tentang bagaimana faktor-faktor manusia dan psikologi memengaruhi organisasi. Ini adalah transformasi yang didorong oleh penemuan tentang Dampak Hawthorne. Gerakan hubungan antar manusia ini lebih terpusat pada tim, motivasi, dan aktualisasi tujuan-tujuan individu di dalam organisasi.

Para pakar terkemuka pada tahap awal ini mencakup:

* Chester Barnard
* Henri Fayol
* Mary Parker Follett
* Frederick Herzberg
* Abraham Maslow
* David McClelland
* Victor Vroom

Perang Dunia II menghasilkan pergeseran lebih lanjut dari bidang ini, ketika penemuan logistik besar-besaran dan penelitian operasi menyebabkan munculnya minat yang baru terhadap sistem dan pendekatan rasionalistik terhadap studi organisasi.

Pada tahun 1960-an dan 1970-an, bidang ini sangat dipengaruhi oleh psikologi sosial dan tekanan dalam studi akademiknya dipusatkan pada penelitian kuantitatif.

Sejak tahun 1980-an, penjelasan-penjelasan budaya tentang organisasi dan perubahan menjadi bagian yang penting dari studi ini. Metode-metode kualitatif dalam studi ini menjadi makin diterima, dengan memanfaatkan pendekatan-pendekatan dari antropologi, psikologi dan sosiologi.

Keadaan bidang studi ini sekarang

Perilaku organisasi saat ini merupakan bidang studi yang berkembang. Jurusan studi organisasi pada umumnya ditempatkan dalam sekolah-sekolah bisnis, meskipun banyak universitas yang juga mempunyai program psikologi industri dan ekonomi industri pula.

Bidang ini sangat berpengaruh dalam dunia bisnis dengan para praktisi seperti Peter Drucker dan Peter Senge yang mengubah penelitian akademik menjadi praktik bisnis. Perilaku organisasi menjadi semakin penting dalam ekonomi global ketika orang dengan berbagai latar belakang dan nilai budaya harus bekerja bersama-sama secara efektif dan efisien. Namun bidang ini juga semakin dikritik sebagai suatu bidang studi karena asumsi-asumsinya yang etnosentris dan pro-kapitalis (lihat Studi Manajemen Kritis)

Tantangan Bisnis yang akan datang

1. Masalah: Meningkatnya produktivitas tenaga kerja. Tantangan bisnis ke depan adalah bagaimana menciptakan keunggulan bersaing dan mempertahankan kesinambungan bisnis sehingga tuntutan peningkatan produktivitas kerja menjadi suatu keharusan. Upaya peningkatan produktivitas kerja diantaranya melalui perubahan perilaku.
2. Peningkatan keahlian tenaga kerja. Keahlian dinyatakan dalam 3 bentuk: keahlian berkonsep, keahlian teknis dan keahlian teknologi.
3. Menurunnya tingkat kesetiaan karyawan
4. Respon atas era globalisasi (hilangnya batas waktu dan ruang), yakni globalisasi ekonomi dan globalisasi perusahaan.
5. Budaya keanekaragaman tenaga kerja.
6. Munculnya peniru temporer, yakni terdapat pergantian karena adanya persaingan sehingga daur hidup produk semakin singkat. Untuk itu produk yang jenuh membutuhkan inovasi-inovasi, salah satunya dengan cara menaikkan tingkat ketrampilan.
7. Peningkatan kualitas pelayanan, produk, dan layanan purna jual.
8. Tuntutan dalam beretika bisnis.


Referensi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Perilaku_organisasi

Pemrograman Pascal

Arti istilah Pascal dianggap berkaitan erat dengan pengertian berikut

Adalah bahasa pemrograman tingkat tinggi yang dikembangkan oleh Niklaus Wirth di Zurich pada akhir 1960-an hingga awal 1970-an. Pascal merupakan bahasa pemrograman yang terstruktur, sehingga sering digunakan sebagai sarana awal untuk mempelajari teknik pemrograman komputer. Versi bahasa Pascal yang banyak dipakai adalah Turbo Pascal buatan Borland International yang bekerja di lingkungan sistem operasi DOS. Belakangan, Pascal juga dikembangkan sebagai bahasa pemrograman visual di lingkungan sistem operasi Windows dengan nama Delphi.

Pascal (bahasa pemrograman)

Pascal adalah bahasa pemrograman yang pertama kali di buat oleh Profesor Niklaus Wirth, seorang anggota International Federation of Information Processing (IFIP) pada tahun 1971. Dengan mengambil nama dari matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang pertama kali menciptakan mesin penghitung, Profesor Niklaus Wirth membuat bahasa Pascal ini sebagai alat bantu untuk mengajarkan konsep pemrograman komputer kepada mahasiswanya. Selain itu, Profesor Niklaus Wirth membuat Pascal juga untuk melengkapi kekurangan-kekurangan bahasa pemrograman yang ada pada saat itu.

Kelebihan

Kelebihan dari bahasa pemrograman Pascal adalah:

* Tipe Data Standar, tipe-tipe data standar yang telah tersedia pada kebanyakan bahasa pemrograman. Pascal memiliki tipe data standar: boolean, integer, real, char, string,
* User defined Data Types, programmer dapat membuat tipe data lain yang diturunkan dari tipe data standar.
* Strongly-typed, programmer harus menentukan tipe data dari suatu variabel, dan variabel tersebut tidak dapat dipergunakan untuk menyimpan tipe data selain dari format yang ditentukan.
* Terstruktur, memiliki sintaks yang memungkinkan penulisan program dipecah menjadi fungsi-fungsi kecil (procedure dan function) yang dapat dipergunakan berulang-ulang.
* Sederhana dan Ekspresif, memiliki struktur yang sederhana dan sangat mendekati bahasa manusia (bahasa Inggris) sehingga mudah dipelajari dan dipahami.

Bahasa PASCAL juga merupakan bahasa yang digunakan sebagai standar bahasa pemrograman bagi tim nasional Olimpiade Komputer Indonesia (TOKI). Selain itu, Bahasa PASCAL masih digunakan dalam IOI (International Olympiad in Informatics).

Tipe Data

Dalam bahasa Pascal terdapat beberapa jenis tipe data yang bisa digunakan untuk sebuah variabel atau konstanta pada program. Tipe Data tersebut antara lain adalah

Tipe Data = Deskripsi (range variabel)
Byte = Angka dari 0 sampai 255
Integer = Angka dari -32768 to 32767
Real = Semua nilai pecahan dari 1E-38 to 1E+38
Boolean = Nilai TRUE atau FALSE
Char = Semua karakter dari tabel ASCII
String = Semua huruf, spasi, frase

Hello World

Contoh program Hello World menggunakan bahasa pascal adalah sebagai berikut:

Program HelloWorld;
begin
writeln('Hello world');

end.

Pranala luar

* (Inggris) Free Pascal (compiler)
* (Inggris) GNU Pascal (compiler)
* (Inggris) Lazarus



Referensi :

http://www.total.or.id/info.php?kk=Pascal

http://id.wikipedia.org/wiki/Pascal_(bahasa_pemrograman)

Oprasi Sistem

Sistem operasi Komputer adalah perangkat lunak komputer atau software yang bertugas untuk melakukan kontrol dan manajemen perangkat keras dan juga operasi-operasi dasar sistem, termasuk menjalankan software aplikasi seperti program-program pengolah data yang bisa digunakan untuk mempermudah kegiatan manusia. Sistem Operasi dalam bahasa Inggrisnya disebut Operating System, atau biasa di singkat dengan OS.

Sistem Operasi komputer merupakan software pada lapisan pertama yang diletakkan pada memori komputer, (memori komputer dalam hal ini ada Hardisk, bukan memory ram) pada saat komputer dinyalakan. Sedangkan software-software lainnya dijalankan setelah Sistem Operasi Komputer berjalan, dan Sistem Operasi akan melakukan layanan inti umum untuk software-software itu. Layanan inti umum tersebut seperti akses ke disk, manajemen memori, skeduling task, dan antar-muka user. Sehingga masing-masing software tidak perlu lagi melakukan tugas-tugas inti umum tersebut, karena dapat dilayani dan dilakukan oleh Sistem Operasi. Bagian kode yang melakukan tugas-tugas inti dan umum tersebut dinamakan dengan kernel suatu Sistem Operasi.

Sistem Operasi berfungsi sebagai penghubung antara lapisan hardware dan lapisan software. selain itu, Sistem Operasi komputer juga melakukan semua perintah perintah penting dalam komputer, serta menjamin aplikasi-aplikasi yang berbeda fungsinya dapat berjalan lancar secara bersamaan tanpa hambatan. Sistem Operasi Komputer menjamin aplikasi perangkat lunak lainnya bisa memakai memori, melakukan input serta output terhadap peralatan lain, dan mempunya akses kepada sistem file. Jika beberapa aplikasi berjalan secara bersamaan, maka Sistem Operasi Komputer akan mengatur jadwal yang tepat, sehingga sebisa mungkin semua proses pada komputer yang berjalan mendapatkan waktu yang cukup untuk menggunakan CPU dan tidak saling mengganggu dengan perangkat yang lain.

Perkembangan Sistem Operasi

Perkembangan sistem operasi Berawal dari Altair, yaitu perangkat komputer pertama pada tahun 1975 yang menggunakan sistem operasi CP/M dan kemudian oleh perusahaan microsoft dirilis menjadi MS-DOS Dan berkembang dari MS-DOS versi 1.0 Pada tahun 1981 sampai MS-DOS versi 5.0 pada tahun 1991 dan sampai sekarang ini microsoft telah mengeluarkan beberapa sistem operasi mulai dari Ms-windows,windows97,windows98,windows98Me,Windows2000.Windows ME,Windows XP dan yang paling terbaru adalah windows vista yang terkenal dengan tatatp mukanya .

Contoh-contoh dari Sistem operasi Komputer misalnya adalah Windows, Linux, MacOS, dan lain lain


Referensi :

http://belajar-komputer-mu.com/pengertian-sistem-operasi-komputer-operating-system/

http://klinik-it.blogspot.com/2010/01/pengertian-sistem-operasi.html

Pengantar Bisnis

Pengertian Bisnis

Dalam ilmu ekonomi, bisnis adalah suatu organisasi yang menjual barang atau jasa kepada konsumen atau bisnis lainnya, untuk mendapatkan laba. Secara historis kata bisnis dari bahasa Inggris business, dari kata dasar busy yang berarti “sibuk” dalam konteks individu, komunitas, ataupun masyarakat. Dalam artian, sibuk mengerjakan aktivitas dan pekerjaan yang mendatangkan keuntungan.

Dalam ekonomi kapitalis, dimana kebanyakan bisnis dimiliki oleh pihak swasta, bisnis dibentuk untuk mendapatkan profit dan meningkatkan kemakmuran para pemiliknya. Pemilik dan operator dari sebuah bisnis mendapatkan imbalan sesuai dengan waktu, usaha, atau kapital yang mereka berikan. Namun tidak semua bisnis mengejar keuntungan seperti ini, misalnya bisnis koperatif yang bertujuan meningkatkan kesejahteraan semua anggotanya atau institusi pemerintah yang bertujuan meningkatkan kesejahteraan rakyat. Model bisnis seperti ini kontras dengan sistem sosialistik, dimana bisnis besar kebanyakan dimiliki oleh pemerintah, masyarakat umum, atau serikat pekerja.

Secara etimologi, bisnis berarti keadaan dimana seseorang atau sekelompok orang sibuk melakukan pekerjaan yang menghasilkan keuntungan. Kata “bisnis” sendiri memiliki tiga penggunaan, tergantung skupnya — penggunaan singular kata bisnis dapat merujuk pada badan usaha, yaitu kesatuan yuridis (hukum), teknis, dan ekonomis yang bertujuan mencari laba atau keuntungan. Penggunaan yang lebih luas dapat merujuk pada sektor pasar tertentu, misalnya “bisnis pertelevisian.” Penggunaan yang paling luas merujuk pada seluruh aktivitas yang dilakukan oleh komunitas penyedia barang dan jasa. Meskipun demikian, definisi “bisnis” yang tepat masih menjadi bahan perdebatan hingga saat ini.
Business is the organized effort of individuals tom produce and sell for a profit, the goods and services that satisfy society needs.
Bisnis adalah suatu kegiatan usaha individu yang terorganisasi untuk menghasilkan dan menjual barang dan jasa guna mendapatkan keuntungan dalam memenuhi dan memuaskan kebutuhan dari masyarakat.

Pengertian Bisnis

Bisnis merupakan seluruh kegiatan yang diorganisasikan oleh orang-orang yang berkecimpung dalam bidang perniagaan dan industri yang menyediakan barang dan jasa untuk mempertahankan dan memperbaiki standar serta kualitas hidup mereka.
Seseorang (individu) yang berusaha menggunakan uang dan waktunya dengan menanggung resiko dalam menjalankan kegiatan bisnis disebut dengan ‘Entrepreneur”.
Untuk menjalankan kegiatan bisnisnya seorang ‘entrepreneur’ harus mampu mengelola dan mengkombinasikan berbagai macam sumber daya yang dimiliki (6M : Money, Man, Material, Machine, Market, Method) sehingga mampu berproduksi secara optimal.

Mengapa Bisnis Penting ?!

Satisfy needs and wants > Customer Satisfactions
Profit & Continuity
Peranan bisnis sangatlah penting dalam kehidupan masyarakat, karena melalui kegiatan bisnis suatu perusahaan akan dapat memenuhi setiap kebutuhan (needs) keinginan (wants) dari masyarakat konsumen yang beraneka ragam, sehingga konsumen merasa terpuaskan (customer satisfactions).
Setiap perusahaan yang berkinerja baik dan mampu memberikan layanan yang memuaskan konsumen maka dipastikan akan memperoleh ‘profit’ atau keuntungan dan usahanya akan terus berkembang dengan pesat ‘going concern’

Fungsi dasar Bisnis

Fungsi dasar Bisnis antara lain meliputi :
Acquiring of raw material
Manufactoring of raw material
Distributing Product to Consumers
Mencari dan menemukan sumber bahan baku
Mengolah bahan baku menjadi produk jadi
Menyalurkan produk jadi ketangan konsumen

Bisnis = Perusahaan

Mengacu pada pendapat Raymond E Glosh (2001), Perusahaan dapat didefinisikan sebagai organisasi yang memproses perubahan keahlian dan sumber daya ekonomi menjadi barang dan jasa bagi pemuasan kebutuhan konsumen, serta diharapkan akan memperoleh laba bagi pemiliknya.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa konsep perusahaan merupakan bagian dari konsep bisnis, namun demikian dalam pembahasan selanjutnya istilah ‘bisnis’ akan lebih sering dipergunakan dari pada ‘perusahaan’.

Konsep Lingkungan Bisnis

Konsep Lingkungan Bisnis
Adalah sekumpulan faktor2 tertentu yang akan mempengaruhi arah kebijakan dari suatu perusahaan dalam mengelola aktifitas bisnisnya.
Faktor2 tersebut meliputi lingkungan eksternal yang dibagi dalam lingkungan jauh (makro) yaitu : Politik, Ekonomi, Sosbud dan teknologi, dan lingkungan industri, serta lingkungan internal yaitu meliputi aspek-aspek dan kebijakan internal didalam lingkungan perusahaan.

Lingkungan Jauh (Makro)

Lingkungan jauh (makro) terdiri dari faktor-faktor yang pada dasarnya berada jauh diluar kendali perusahaan (bersifat : uncontrolable). Faktor makro yang biasanya menjadi titik perhatian perusahaan anatra lain : faktor Politik, Hukum, Ekonomi (kebijakan fiskal & moneter), Sosial Budaya dan Teknologi.
Lingkungan makro ini selain memberikan kesempatan dan peluang bagi perusahaan untuk maju dan mengembangkan bisnisnya, sekaligus juga dapat menjadi hambatan dan ancaman yang dapat mempengaruhi kelangsungan hidup suatu perusahaan.

Faktor Politik (Lingkungan makro)

Bagi para pengusaha, arah, kebijakan dan stabilitas politik menjadi faktor penting dalam berusaha. Situasi politik yang tidak kondusif akan berdampak negatif bagi dunia usaha, begitu pula sebaliknya.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan terkait dengan faktor politik anatar lain :
Stabilitas nasional : hankamnas, makar, sparatis.
Jaminan keamanan (travel warning etc)
Pemerintahan yang legitimate & demokratis
Good Corporate Governance
Kepastian Hukum & Undang-undang, HAM dll.

Faktor Ekonomi (Lingkungan Makro)

Kondisi perekonomian disuatu negara/daerah secara langsung dapat mempengaruhi iklim bisnis dari perusahaan. Semakin buruk kondisi ekonomi, maka akan semakin buruk pula iklim bisnisnya.
Beberapa faktor penting terkait dengan kondisi ekonomi disuatu negara/daerah antara lain :
GNP, GDP dan Pendapatan Perkapita
Tingkat Inflasi, Suku Bunga
Investasi (PMA & PMDN)
Harga produk & Jasa
Ketersediaan Energi dan sarana prasarana lainnya
Pasar tenaga kerja

Faktor Sosial (Lingkungan Makro)

Kondisi sosial masyarakat memang bersifat dinamis dan selalu berubah dari masa ke masa, oleh karena itu perusahaan senantiasa dituntut mampu mengantisipasi perubahan kultur sosial masyarakat.
Kondisi sosial ini banyak sekali aspeknya misalnya sikap, gaya hidup, adat-istiadat, kultural, ekologis, demografis, religius, pendidikan maupun etnis tertentu.
Perubahan kondisi sosial biasanya terkait dengan perubahan sikap dan gaya hidup (life style) akibat peningkatan income, perubahan strata sosial maupun ekses dari perkembangan teknologi.

Faktor Teknologi (Lingkungan Makro)

Setiap perusahaan yang ingin tetap eksis dan berkembang bisnisnya, maka harus selalu mengikuti trend perkembangan teknologi terkini, sehingga produk dan jasa yang dihasilkan dapat selalu uptodate sesuai dengan keinginan konsumen.
Perusahaan harus bersifat responsive, aktif, kreatif terhadap setiap perkembangan inovasi teknologi baru. (lihatlah ketatnya persaingan teknologi di industri automotif dan ponsel).

LINGKUNGAN INDUSTRI

Lingkungan industri lebih mengarah pada persaingan diantara suatu perusahaan penghasil produk yang sejenis dalam suatu area wilayah tertentu, Misal lingkungan industri otomotif untuk produsen motor di Indonesia adalah : Honda, Yamaha, Suzuki, Kawazaki, Kymko, Bajaj, dll.
Ada 6 (enam) variabel yang berpengaruh terhadap strategi bersaing dalam suatu lingkungan industri tertentu, yaitu :
Hambatan Memasuki Pasar (Barier to Entry)
Kekuatan Tawar (Bargaining Power) Pembeli
Kekuatan Tawar (Bargaining Power) Pemasok
Ketersediaan Produk Substitusi
Persaingan Sesama Perusahaan Dalam Industri
Pengaruh kekuatan Stake Holder

Hambatan Memasuki Pasar (barier to Entry)

Masuknya perusahaan pendatang baru akan menimbulkan sejumlah implikasi bagi perusahaan lama yang telah ada, misalnya terjadi perebutan pangsa pasar, sumber daya yang terbatas dsb.
Ada beberapa faktor dan cara yang dapat dipakai untuk dapat menghambat masuknya pendatang baru kedallam suatu industri tertentu (barier to entry) antara lain :
Skala ekonomi & Kecukupan Modal
Diferensiasi Produk
Peraturan Pemerintah
Akses ke Pemasok & Saluran Distribusi

Kekuatan Tawar Pembeli

Pembeli (buyers) mampu mempengaruhi produsen untuk memotong harga produk tertentu, meningkatkan mutu dan kualitas pelayanan serta mengadu perusahaan dengan kompetitor melalui berbagai keunggulan masing-masing.
Bagaimana hal ini bisa terjadi ?
Jika pembeli membeli dalam jumlah yang besar
Sifat produk umum, banyak pemasok mudah mencari substitusinya

Kekuatan Tawar Pemasok (Bargaining Power Supplier)

Pemasok dapat mempengaruhi industri lewat kemampuan mereka untuk menaikkan harga bahan baku atau penurunan kualitas produk/jasa.
Pemasok akan kuat apabila :
Jumlah pemasok sedikit
Produk bahan baku & jasanya bersifat specifik
Tidak tersedia produk substitusi
Pemasok memiliki kemampuan untuk mengolah produk seperti yang dilakukan perusahaan/produsen
Ketersediaan Produk Substitusi

Perusahaan dalam suatu indsutri tertentu bersaing pula dengan munculnya produk substitusi atau pengganti yang juga beredar dipasaran, sebab meskipun karakteristiknya berbeda barang substitusi mampu memberikan fungsi, manfaat atau jasa yang serupa bagi konsumen.
Konsumen yang realistis akan berpedoman pada prinsip : tiada rotan akarpun jadi.
Persaingan Sesama Perusahaan dalam Industri Sejenis
Kondisi Pasar Persaingan dalam Industri, Misal : Monopolistic, Oligopoly, Pasar Persaingan Sempurna, akan sangat mempengaruhi kebijakan dan kinerja perusahaan.
Beberapa faktor yang berpengaruh terhadap tingkat persaingan bisnis antara lain : Karakteristik jenis dari masing-masing produk (special/unique, convenience, complementer, consumptions), Jumlah kompetitor dan tingkat pertumbuhan industri.

Pengaruh Stake Holder

Stake holder yang dimaksud disini adalah pihak diluar perusahaan yang secara langsung mempunyai pengaruh dan kepentingan terhadap perusahaan tersebut, misalnya : pemerintah, serikat pekerja, kreditor, pemasok, asosiasi, para pemegang saham, lingkungan masyarakat, dll.

Referensi :

http://prastianinc.wordpress.com/2010/10/16/4/
http://id.wikipedia.org/wiki/Bisnis

http://kampus-online.blogspot.com 

Statistik Deskriptif

Statistika Deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.
Pengklasifikasian menjadi statistika deskriptif dan statistika inferensia dilakukan berdasarkan aktivitas yang dilakukan.
Statistika deskriptif hanya memberikan informasi mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik inferensia atau kesimpulan apapun tentang gugus induknya yang lebih besar.
Contoh statistika deskriptif yang sering muncul adalah, tabel, diagram, grafik, dan besaran-besaran lain di majalah dan koran-koran.
Dengan Statistika deskriptif, kumpulan data yang diperoleh akan tersaji dengan ringkas dan rapi serta dapat memberikan informasi inti dari kumpulan data yang ada. Informasi yang dapat diperoleh dari statistika deskriptif ini antara lain ukuran pemusatan data, ukuran penyebaran data, serta kecenderungan suatu gugus data.

Definisi Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial

Statistika adalah ilmu yg mempelajari bagaimana merencanakan mengumpulkan menganalisis menginterpretasi dan mempresentasikan data. Statistika merupakan ilmu yg berkenaan dgn data sedang statistik adl data informasi atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi sampel unit sampel dan probabilitas.
Ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dgn deskripsi data misal dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lbh mudah “dibaca” dan lbh bermakna. Sedangkan statistika inferensial lbh dari itu misal melakukan pengujian hipotesis melakukan prediksi observasi masa depan atau membuat model regresi.

Statistika deskriptif berkenaan dgn bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan baik secara numerik (misal menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik) utk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut sehingga lbh mudah dibaca dan bermakna.

Statistika inferensial berkenaan dgn permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data misal melakukan pengujian hipotesis melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi) membuat permodelan hubungan (korelasi regresi ANOVA deret waktu) dan sebagainya.
 

Referensi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika_deskriptif
http://blog.re.or.id/definisi-statistika-deskriptif-dan-statistika-inferensial.htm

Aljabar Linear

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0

x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

 

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

Contoh 1:
Matriks

A = dan B =

 

AB = = = I (matriks identitas)

BA = = = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A ^{− 1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks

A = dan B =

AB = =

BA = =

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.


Contoh 3:
Matriks

A =

Tentukan Nilai dari A^-1
Jawab:


Contoh 4:
Matriks

A = , B = , AB =

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

, ,

Maka

=

Ini membuktikan bahwa (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks

A = ditranspose menjadi A^T =

Matriks

B = ditranspose menjadi B^T =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)^T)^T = A

2. (A + B)^T = A^T + B^T dan (A − B)^T = A^T − B^T

3. (kA)^T = kA^T dimana k adalah skalar

4. (AB)^T = B^TA^T

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :



secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai


Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D ^{− 1}=
DD ^{− 1} = D ^{− 1}D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
D^k=
Contoh :
A=
maka
A⁵=

 

Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema

• Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
• Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
• Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
• Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya adalah
A ^{− 1}=
Matriks yang tidak bisa di invers
B =

Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika A = A^T
Contoh matriks simetris


Teorema

• Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

A^T adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)^T = B^TA^T = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A ^{− 1} adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = A^T maka :
(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1} = A ^{− 1}
Yang mana membuktikan bahwa A ^{− 1} adalah simetris.

Produk AA^T dan A^TA
(AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T dan (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A =
lalu
A^TA = =

AA^T = =
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AA^T dan A^TA juga bisa di inverse

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2x2

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ = = detM = a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ = = detM = a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃ 

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₁₂ + a₁₃

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

 

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₂₁ + a₃₁

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

Jawab:
det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8


Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) =

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik





dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:
bentuk matrik A dan b

A = b =

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = A₂ = A₃ =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,

Tes Determinan untuk Invertibilitas 

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,...,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=E_r...E₂ E₁ A dan, det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A) Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. Contoh Soal : karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.  A=  

Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A =

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16
C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16
C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16
menjadi matrix kofaktor

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

adj(A) =

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64


Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = λx ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

(λI - A) x = 0

contoh:
diketahui persamaan linear

x1 + 3x2 = λx1
     4x1 + 2x2 = λx2

dapat ditulis dalam bentuk

  = λ 

yang kemudian dapat diubah

A =dan x =

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ 

λ 

sehingga didapat bentuk

λ I - A = 

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) =  = 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

x = 

Vektor dalam Ruang Euklide

Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.


u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_n Penjumlahan u + v didefinisikan oleh



u + v = (u₁ + v₂, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n) Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh


ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n) Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor


0 = (0, 0,...., 0) Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh


-u = (-u1, -u2, ...., -un) Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh


v – u = v + (-u) atau, dalam istilah komponen,


v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un) Sifat-sifat dari vektor dalam Rⁿ
jika , , dan adalah vektor dalam Rⁿ sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u

Perkalian dot product didefinisikan sebagai

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

• Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rⁿ dalam setiap y₁,y₂,....,y_n adalah nilai yang terukur.
• Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x₁,x₂,...,x₁5) dalam setiap x₁ adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x₂ adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
• Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R⁴ dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR³. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v₁,v₂,v₃,v₄) dalam R⁴ ke vector keluaran w = (w₁,w₂,w₃) dalamR³.
• Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
• Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s₁,s₂,s₃,...,s₁0) dalam setiap angka s₁,s₂,...,s₁0 adalah output dari sektor individual.
• Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx₁,x₂,...,x₆ dan kecepatan mereka adalah v₁,v₂,...,v₆. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

V = (x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,t) Dalam R¹3. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

• Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rⁿ
jika u = (u₁,u₂,u₃,...,u_n)

Maka Panjang vektor u



dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

 

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃).
Jika kita tuliskan P(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀
bentuk equivalentnya : p(x)=a₃(x-x₀)³+p(x)=a₂(x-x₀)²+p(x)=a₁(x-x₀)+a₀
dari kondisi interpolasi p(x₀)=y_o maka didapatkan a₀=y_o , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+b₂(x-x₀)(x-x₁)+b₁(x-x₀)+b₀ inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x₀)=b₀
p(x₁)=b₁h₁+b₀
p(x₂)=b₂(h₁+h₂)h₂+b₁(h₁+h₂)+b₀
p(x₃)=b₃(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)h₃+b₂(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)+b₁(h₁+h₂+h₃)+b₀
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

 

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = -x = -x + 0y
x₂ = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Secara umum, operator pada R² dan R³ yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = x = x + 0y
x₂ = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R² dan R³ merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R² melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R². Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w₁ = r cos (ɵ + ɸ) ; w₂= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w₁ = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w₂ = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w₁ = x cos Θ - y sin Θ
w₂ = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:

Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x₀,y₀)...., (x_n,y_n). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = a_mx^m + a_m-1x^{m − 1} + ... + a₁x + a₀ dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi



karena x_i diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

=

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

= (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=

Untuk data di atas, kita mempunyai

=



Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

Baris ke-4 dikurangi baris ke-2

Baris ke-4 dibagi dengan 2

Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas


Jadi, interpolasinya adalah

Referensi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear